Quantummechanica

Een stukje quantummechanica :)

De Quantummechanica - een introductie

Inleiding

Naast de Relativiteitstheorie is de Quantummechanica (voortaan afgekort tot QM) een van de belangrijkste pijlers van de hedendaagse zogeheten 'moderne' fysica. De bedoeling van dit artikel is om een algemene en laagdrempelige inleiding in de QM te geven, zodat in forumdiscussies naar specifieke alinea's kan worden verwezen.

Om direct aan het begin even een beeld te schetsen van hoe men tegen de QM aankijkt, haal ik Richard Feynman aan, die eens zei: "Ik denk dat ik veilig kan zeggen dat niemand de Quantummechanica begrijpt". Hij doelde hiermee op het feit dat iedere natuurkundige in principe QM kan 'doen', echter met betrekking tot 'waarom' hij het zo doet, heeft elke natuurkundige weer andere idee�n. Er is gewoon geen consensus over wat de QM nou eigenlijk echt betekent.

Een ander punt vooraf met betrekking tot de wiskunde: de QM is �rg wiskundig, en zodoende is het lastig om een artikel te schrijven dat aan de ene kant alle basisbegrippen omvat, en aan de andere kant toch geen enkele formule bevat. Zoals Griffiths in het voorwoord van zijn boek schrijft: "natuurkunde is als het timmermansambacht: het gebruik van de juiste gereedschappen maakt het werk makkelijker, niet moeilijker; en proberen een student QM te leren zonder de nodige wiskunde staat gelijk aan hem vragen een grote kuil te graven met een schroevendraaier". Is het Griffiths' aanpak om de studenten een degelijke schep te geven en ze te laten graven, in dit artikel zullen we de scheppen laten liggen en met de handen op onze rug een kijkje nemen.

Voor het juiste historische perspectief volgt nu eerst een stukje geschiedenis.

Geschiedenis

Zoals bij de meeste mensen waarschijnlijk bekend is, is d� naam achter de Relativiteitstheorie�n die van Albert Einstein. Rond 1905 schreef deze twee artikelen die de wereld op zijn kop zetten. Bij de QM echter is er niet ��n enkele persoon aan te wijzen als grondlegger. Grote namen zijn Erwin Schr�dinger, Werner Heisenberg, Max Born en Paul Dirac, maar er waren vele anderen en geen van allen kon in zijn eentje met alle eer strijken.

Het atoommodel van Bohr

Maar we beginnen met de Deense natuurkundige Niels Bohr. In 1913 ontwikkelde hij een theorie waarmee grote vooruitgang werd geboekt in het beschrijven van een atoom. Bohr realiseerde zich dat met klassieke natuurkunde alleen nooit een bevredigende beschrijving zou kunnen worden gemaakt, en dat de oplossing waarschijnlijk lag in de quantumeigenschappen van licht (licht bestaat uit energiepakketjes, fotonen). Twee belangrijke idee�n uit zijn theorie waren dat een elektron om de atoomkern kan cirkelen in bepaalde banen en daarnaast dat zo'n rondcirkelend elektron door een foton met een heel bepaalde energie te absorberen of uit te zenden, naar een hoger- respectievelijk lagergelegen baan kan springen (overgang/transitie).

Beperkingen van Bohrs model

De theorie van Bohr levert een beschrijving voor een groot aantal fenomenen in het atoom, en was zeker een stap in de richting van de moderne fysica. Het had echter een aantal belangrijke beperkingen. De belangrijkste is dat de theorie alleen toepasbaar is op waterstof (H) en enkel-elektronionen zoals helium He[sup]+[/sup] en lithium Li[sup]2+[/sup]; met neutraal He werkt het al niet. Verder verklaart de theorie niet waarom bepaalde lijnen uit een lijnenspectrum een hogere intensiteit hebben dan andere (oftewel, waarom elektronen een 'voorkeur' hebben voor het maken van bepaalde overgangen boven andere) en waarom veel van deze spectraallijnen bij nader inzien eigenlijk blijken te bestaan uit vlak naast elkaar gelegen lijnen met iets verschillende golflengten (lijnsplitsing). En tenslotte zou een echt succesvolle theorie het mogelijk moeten kunnen maken om te begrijpen hoe individuele atomen met elkaar wisselwerken om materialen te vormen met de eigenschappen die we waarnemen. Dit is met de theorie van Bohr niet mogelijk.

Een nieuwe insteek

Er was duidelijk een totaal nieuwe insteek nodig, en die kwam in 1925 en 1926 in de vorm van de Quantummechanica, die de wereld op een fundamenteel nieuwe manier beschreef. Reeds in de vroege jaren dertig van de twintigste eeuw waren de toepassingen van de theorie legio, en leverde hij zeer precieze voorspellingen.

Tot op de dag van vandaag heeft de QM elke experimentele testen overleefd, zelfs als de voorspellingen erg ongewoon waren.

Begrippen uit de QM

In het nu volgende gedeelte zullen enkele belangrijke begrippen uit de QM nader worden toegelicht. Deze vormen de spil van de theorie en zijn nodig om een algemeen beeld te krijgen van de theorie. Door de tekst heen zullen ook voorbeelden en toepassingen worden behandeld die een en ander illustreren.

Golffunctie

Al in 1905 was bekend dat golven deeltjeseigenschappen vertonen, maar het duurde tot 1924 tot men het golfkarakter van deeltjes ontdekte. De man hierachter was de Fransman Louis De Broglie. En hoewel Einstein en Planck nog op veel verzet stuitten bij de introductie van hun theorie�n over de quantumeigenschappen van licht, was het wetenschappelijk klimaat intussen zo veranderd dat De Broglies theorie zonder meer geaccepteerd werd. Het idee van de golf-deeltjedualiteit werd een van de startpunten van de ontwikkeling van de QM.

In de QM worden deeltjes, of meer algemeen: lichamen, beschreven door middel van een zogenaamde golffunctie. Deze heeft op zichzelf geen fysische betekenis, dat wil zeggen, representeert niet een observeerbare grootheid. De golffunctie is echter te beschouwen als een soort kansverdeling: de waarschijnlijkheid om een lichaam, beschreven door een golffunctie, aan te treffen op de co�rdinaten x, y, z (plaats) en t (tijd), is rechtevenredig met de absoluut gekwadrateerde waarde van die golffunctie op die plaats en tijd. Het kwadraat van de golffunctie zegt dus hoe waarschijnlijk het is een deeltje ergens aan te treffen. Een hoge waarde, nabij 1, duidt op een hoge waarschijnlijkheid, terwijl een erg kleine waarde betekent dat het erg onwaarschijnlijk, maar toch niet uitgesloten is om het deeltje daar aan te treffen.

Het gebruik van de golffunctie zal in de volgende paragraaf nader ge�llustreerd worden.

De Schr�dingervergelijking

Het oplossen van een probleem uit de QM vereist erg vaak het werken met de zogenaamde Schr�dingervergelijking. Dit is een redelijk afschrikwekkende vergelijking, maar is in feite niets anders dan een veredelde versie van een vergelijking die sommige mensen zich misschien nog wel herinneren van hun middelbareschooltijd, en die stelt dat de totale energie van een systeem wordt gevormd door de som van zijn kinetische (bewegings-) energie en een potenti�le energiefunctie (die aangeeft hoeveel energie er in het systeem ligt 'opgeslagen').

De algemene werkwijze bij het oplossen van zo'n probleem met de Schr�dingervergelijking, is dat je er een functie voor de eerdergenoemde potentiaal instopt. Deze hangt af van de omgeving van het deeltje. Beschouw je bijvoorbeeld een volledig vrij bewegend deeltje, of wordt hij gehinderd door een atoomkern, andere elektronen, etc.? De laatste gevallen leggen zeker beperkingen op aan de waarschijnlijkheid het deeltje op bepaalde plaatsen aan te treffen. Als deze potentiaalfunctie bekend is, kan de vergelijking worden opgelost naar de enige onbekende grootheid die er dan nog in voorkomt: de golffunctie. Na een hele hoop schrijfwerk of een beetje typwerk en nog minder computerrekentijd kan zo een uitdrukking gevonden worden voor de golffunctie.

Deze uitdrukking bestaat dan in het algemeen uit de som van meerdere afzonderlijke golffuncties, die elk een bepaalde toestand van het deeltje representeren. Bijvoorbeeld in het geval van een elektron die rond een atoomkern cirkelt, bestaat de golffunctie uit de som van alle mogelijke toestanden (banen) waarin hij terecht zou kunnen komen. Het is echter een 'gewogen' som, aangezien het niet voor alle toestanden even waarschijnlijk is dat het elektron daar in terechtkomt. Is de golffunctie uiteindelijk bekend, dan kun je hem kwadrateren en weet je de waarschijnlijkheidsco�ffici�nten en kun je uitspraken doen over waar je het deeltje waarschijnlijk zult aantreffen.

Het Onzekerheidsprincipe

Een belangrijk principe uit de QM is het door Heisenberg geformuleerde Onzekerheidsprincipe. Dit zegt in zijn simpelste vorm dat het onmogelijk is om de positie �n de impuls (dwz massa maal snelheid) van een deeltje tegelijk nauwkeurig te meten. Met andere woorden: des te nauwkeuriger je de positie van een deeltje weet te bepalen, des te onzekerder wordt je meting van de impuls, en vice versa.

Dit principe kan ge�llustreerd worden door het volgende voorbeeld. Stel, we hebben een elektron die we nader willen bekijken. We gebruiken daarvoor licht van een bepaalde golflengte, en 'beschijnen' daarmee het elektron. Uit het gereflecteerde licht kunnen we dan informatie halen over positie en impuls.

Deze informatie haal je uit de golflengte van het gereflecteerde licht. Het reflecteren van het foton op het elektron komt in feite neer op de absorptie en emissie van een foton door het elektron. Het elektron neemt een foton op, gaat daardoor in een hogere schil (omloopbaan) zitten, en valt later weer terug onder uitzending van een foton. Dit foton echter moet een heel bepaalde energie hebben om geabsorbeerd te worden. Namelijk precies de energie die het elektron nodig heeft om naar die hogere baan te springen. En deze laatste energie staat weer in direct verband met de impuls van het elektron.

Het probleem is echter dat als een foton uit onze lichtbundel reflecteert (en we even weer terugkeren naar het deeltjeskarakter) het in wezen 'afketst' op het elektron, en daarmee de impuls van het elektron verandert (vergelijk dit met het weggooien van een zware boekentas terwijl je op een rijdende stoel zit: gooi je de tas vooruit, dan rijd jij achteruit). Deze impulsverandering is evenredig met de impuls van het foton en deze op zijn beurt weer omgekeerd evenredig met de golflengte van het foton. Willen we ervoor zorgen dat de impulsverandering van het elektron zo klein mogelijk is, dan moeten we dus licht gebruiken met een zo hoog mogelijke golflengte. Echter, deze golflengte is ook een maat voor de (on)zekerheid in het bepalen van de positie van het elektron. De resolutie van een beeld gevormd door licht met een bepaalde golflengte wordt namelijk begrensd door die golflengte. Oftewel, objecten met afmetingen kleiner dan die golflengte zijn niet meer te onderscheiden. Dit pleit ervoor om juist een lage golflengte te gebruiken.

Concluderend: op het eerste gezicht wil je de golflengte van je lichtbundel zo hoog mogelijk maken, om zo de impuls van het elektron dat je wilt bekijken zo min mogelijk te verstoren. Aan de andere kant heb je om de positie van het elektron waar te nemen juist een lage golflengte nodig.

Een andere variant van hetzelfde principe stelt dat als je de energie wilt meten die gedurende een bepaald tijdinterval vrijkomt bij een proces, je nauwkeurigheid in het bepalen van de energie ten koste gaat van de nauwkeurigheid van het bepalen van het tijdinterval waarin gemeten wordt.

Einstein, uit wiens intu�tie de Relativiteitstheorie was ontsproten, was nogal sceptisch over dit alles. Het kon er bij hem niet in dat je niets met absolute nauwkeurigheden kunt meten (Onzekerheidsprincipe), maar dat in plaats daarvan alles om waarschijnlijkheden leek te draaien (golffuncties). Hij bracht dit tot uiting in de inmiddels gevleugelde uitdrukking "God dobbelt niet". Ook schijnt hij tijdens een lezing van Heisenberg over zijn Principe opgemerkt te hebben: "Wonderlijk, wat voor idee�n die jongelui hebben tegenwoordig. Maar ik geloof er geen woord van".

Statistische Interpretaties

Zoals gezegd geeft (het kwadraat van) de golffunctie aan hoe waarschijnlijk het is dat we een deeltje ergens aantreffen op een bepaalde tijd. Zetten we de golffunctie op een bepaald tijdstip uit tegen een plaatsco�rdinaat, dan zien we typisch een lijn met bergen en dalen. Stel we zien een top op plaats A. Dan is het erg waarschijnlijk het deeltje aan te treffen, in tegenstelling tot bijv. plaats B, waarvoor de golffunctie gelijk aan nul is.

V��r de meting

Stel nu dat we een meting doen en we stellen vast dat ons deeltje zich op een bepaalde plaats C bevindt. Nu stellen we onszelf de vraag: waar bevond dat deeltje zich vlak voor we keken? Er zijn drie plausibele antwoorden op deze vraag:

(1) Het realistische standpunt: het deeltje was op plaats C. Einstein hing dit standpunt bijvoorbeeld aan. Als dit waar zou zijn, zou de QM echter een onvolledige theorie zijn: immers, het deeltje was echt op plaats C, maar de theorie voorspelde slechts dat hij er met een zekere waarschijnlijkheid zou kunnen zijn. De typische realist stelt verder dat een onzekerheid nooit ingebouwd zit in de natuur, maar altijd aan de waarnemer te wijten is: de positie van een deeltje is niet onbepaald, maar slechts onbekend bij de waarnemer.

(2) Het orthodoxe standpunt: het deeltje was niet echt ergens. Een meting verstoort niet alleen het systeem (zoals Heisenberg stelde), maar dwingt daarnaast een deeltje 'een beslissing te maken'. Dit wordt ook wel de Kopenhagen interpretatie genoemd en wordt verbonden met Bohr en zijn volgelingen. Dit standpunt had lange tijd de meeste aanhangers, hoe raar het concept 'meting' er ook van wordt.

(3) Het agnostische standpunt: geen mening. Het is zinloos je af te vragen waar het deeltje was voor je keek, want je kunt daar per definitie nooit achterkomen. Het enige wat je weet is waar het deeltje was toen je keek. Dit standpunt werd door veel fysici achter de hand gehouden: ze hingen doorgaans het orthodoxe standpunt aan, maar vroeg men door, dan be�indigde men de discussie door het agnostische standpunt naar voren te brengen.

In 1964 werd door John Bell aangetoond dat het een duidelijk verschil maakt als het deeltje een precieze (hoewel onbekende) positie heeft vlak voor de meting en sloot hiermee het agnostische standpunt uit, en zorgde ervoor dat met experimenten kon worden bepaald of het realistische dan wel orthodoxe standpunt de juiste was. Het bleek het orthodoxe standpunt te zijn: een deeltje heeft geen precieze positie tot op het moment van meting, en de meting cre�ert eigenlijk het specifieke resultaat.

Collapse of the Wavefunction

Nu stellen we onszelf nog een tweede vraag: wat nu als ik direct na de eerste meting nog een keer meet? Wat krijg ik dan? Iedereen zal het ermee eens zijn dat je dan meet dat het deeltje zich nog steeds op plaats C bevindt. Immers, het deeltje heeft nog geen tijd gehad zich te verplaatsen. Nu is het natuurlijk de vraag hoe de orthodoxe zienswijze dit oplost, en dit is door middel van de zogenaamde collapse of the wavefunction, vrij vertaald de 'ineenstorting van de golffunctie'. Na de eerste meting is de golffunctie veranderd in een scherpe piek rond de plaats C, zodat de kans 100% is dat we het deeltje daar aantreffen. Naar mate de tijd verstrijkt zal de golffunctie weer terugvallen naar zijn oude vorm, want het deeltje kan onder invloed van de potentiaalfunctie natuurlijk weer verplaatst worden.

De Quantum Zeno Paradox

De collapse of the wavefunction is een erg vreemd concept. Het werd op puur theoretische gronden ge�ntroduceerd, omdat het duidelijk was dat een tweede meting, direct uitgevoerd na de eerste, hetzelfde resultaat zou moeten opleveren. Men werd benieuwd of er ook een experimentele manier zou zijn om de juistheid van het postulaat van de collapse aan te tonen.

Een antwoord hierop kwam in 1977 van de heren Misra en Sudarshan in de vorm van het Quantum Zeno Effect (ook wel bekend onder de duidelijkere naam 'watched pot effect', naar de Engelse uitdrukking a watched pot never boils). Zij stelden voor om metingen uit te voeren aan een extreem onstabiel systeem, bijvoorbeeld een atoom waarvan een elektron ge�xciteerd (in een hogere baan getikt) is. Normaliter verwachten we dat het atoom heel snel weer terugvalt in zijn oorspronkelijke (grond)toestand. Maar stel nu dat we het systeem onderwerpen aan een hele snelle opeenvolging van metingen. Na elke meting zal de golffunctie ineenstorten, waarna het een tijdje vrijwel zeker is het atoom in de ge�xciteerde toestand aan te treffen. Voordat deze zekerheid weer in een redelijke (on)waarschijnlijkheid veranderd, kijken we weer, en zo zouden we ervoor kunnen zorgen dat het atoom nooit vervalt!

Sommige fysici beschouwden deze conclusie als klinkklare onzin, en zagen het als een bewijs tegen het concept van de collapse. Maar in feite blijkt dat het experiment onder bepaalde omstandigheden zeker te doen is, en de resultaten komen overeen met de theoretische voorspellingen. Spijtig genoeg is dit echter niet een sluitend bewijs voor het bestaan van de collapse of the wavefunction, want het blijkt dat de waarnemingen ook op een andere manier kunnen worden verklaard. Hierop zal echter niet verder worden ingegaan.

Schr�dingers Kat

Een andere bekende paradox uit de QM staat bekend onder de naam 'Schr�dingers Kat'. Hierin wordt er een kat in een doos geplaatst waarin zich een kleine hoeveelheid radioactief materiaal bevindt, zo klein dat er gedurende een uur een even grote kans is dat er wel of niet een atoom vervalt. Zou er een atoom vervallen, dan wordt dat gedetecteerd door een Geigerteller, die een hamer aanstuurt die op zijn beurt een busje cyanide kapotslaat.

Op een bepaald tijdstip stoppen we de kat in de doos en na een uur kijken we of de kat nog leeft, of dat het mechanisme in werking is gesteld, en de kat gestorven is. Van te voren weten we dat er een kans van 50% is dat er een atoom vervallen is en de kat gedood is. Er is echter een even grote kans dat de kat nog leeft. Zouden we de kat beschrijven door middel van een golfvergelijking, dan zou die opgebouwd zijn uit twee afzonderlijke golfvergelijkingen, die de mogelijke toestanden van de kat beschrijven: dood dan wel levend. Aangezien beide toestanden even waarschijnlijk zijn, kunnen we geen definitief oordeel vellen over wat er met de kat gebeurd is.

Oftewel: quantummechanisch gezien zou de kat, voordat we hebben gekeken, levend noch dood zijn, maar in een zogenaamde superpositie van beide. Hij is levend en dood tegelijk. Pas als we kijken, wordt de kat gedwongen ��n van de toestanden aan te nemen. Zou dat de toestand 'dood' zijn, dan zou het dus de waarnemer zijn geweest die de dood van de kat op zijn geweten had, slechts door te kijken!

Schr�dinger en de meeste natuurkundigen beschouwen het als onzin dat een macroscopisch object als een kat in een superpositie van toestanden kan verkeren, en pas een definitieve 'beslissing' neemt op het moment dat een waarnemer een observatie uitvoert. Een goede quantummechanische verklaring hiervan bestaat echter niet.

Quantisatie

Wat opvalt in de QM is dat veel grootheden gequantiseerd zijn: in plaats van continu, zoals volgens de klassieke opvattingen, zijn ze discreet en nemen ze als waarde alleen veelvouden van een bepaalde constante aan. Zulke quantisaties zijn goed zichtbaar te maken door middel van experimenten. In de paragrafen hieronder volgen enkele voorbeelden van gequantiseerde grootheden en daaruit voortvloeiende principes, en zullen een paar experimenten behandeld worden die dit fenomeen illustreren.

Spin

Een voorbeeld van zo'n gequantiseerde grootheid is spin, een grootheid die overigens in 1925 ontdekt is door de Nederlandse fysici Samuel Goudsmit en George Uhlenbeck, waarvoor zij de Nobelprijs ontvingen. Spin is een typisch quantummechanisch begrip zonder een echt klassiek equivalent. Om een beter inzicht te krijgen in wat spin precies inhoudt vergelijken we een elektron met een planeet. Een planeet cirkelt om een ster, maar voert daarnaast ook nog een omwenteling uit om zijn eigen as. Iets vergelijkbaars geldt voor een elektron: naast een extrinsiek hoekmoment dat correspondeert met zijn baanbeweging om de atoomkern, bezit het ook een intrinsiek hoekmoment: spin. Deze analogie is echter niet geheel correct, aangezien het elektron als een structuurloos puntdeeltje wordt beschouwd en het zodoende zinloos is om te spreken van een omwenteling om zijn as. Daarnaast is het zo dat je deeltjes met een bepaalde spin soms meer dan 360 graden moet draaien om het in zijn oorspronkelijke ori�ntatie terug te krijgen, terwijl we normaal gewend zijn dat daar altijd hoogstens 360 voor nodig zijn.

Als we een elektron beschouwen die zich in een magneetveld bevindt, gedraagt spinhoekmoment zich als een soort kompasnaaldje. Het blijkt dat deze slechts in bepaalde richtingen geori�nteerd kan zijn ten opzichte van het magneetveld. Dit hangt af van de spin van een deeltje: hoe hoger zijn spin, des te meer ori�ntaties zijn er mogelijk. Iets duidelijker: het aantal mogelijke ori�ntaties is gelijk aan twee maal de spin, plus 1. Het elektron heeft bijvoorbeeld een spin van 1/2 en daarom kan het twee ori�ntaties aannemen; deze staan bekend onder de kreten "spin up" en "spin down".

Deeltjes blijken op basis van hun spin in twee categorie�n te kunnen worden ingedeeld, waarin de gequantiseerde eigenschap van spin nog eens mooi naar voren komt. Hierop zal in het volgende paragraafje worden ingegaan.

Fermionen, bosonen en Pauli's Uitsluitingsprincipe

Er blijken deeltjes met heel- en halftallige spins voor te komen. De eerste categorie deeltjes wordt bosonen genoemd, de tweede fermionen.

Bosonen hebben dus altijd een spin van 0, +/- 1, +/- 2 etc. Verder voldoen ze aan de Bose-Einsteinstatistiek, een statische distributiewet die uitspraken doet over het gedrag van systemen bestaande uit bosonen. Een voorbeeld van een boson is het foton.

Daarnaast zijn er zoals gezegd de fermionen, die een spin hebben van +/- 1/2, +/- 3/2, enz. Zij voldoen aan een statische verdelingswet die is opgesteld door de heren Fermi en Dirac, en die ook hun namen draagt. Een elektron bijvoorbeeld is een fermion want die heeft zoals gezegd een spin van 1/2. Een belangrijke eigenschap van fermionen is dat zij onderhevig zijn aan het Uitsluitingsprincipe, geformuleerd door Wolfgang Pauli.

Dit Principe stelt dat twee elektronen in een atoom zich nooit in precies dezelfde quantumtoestand kunnen bevinden. 'Dezelfde' in die zin dat alle quantumgetallen die de toestand van een elektron beschrijven, gelijk zijn. Dit Principe resulteert in de welbekende elektronschillen, die Bohr ook al beschreef. In een schil kunnen zich immers maar enkele elektronen tegelijk bevinden; is de schil vol, dan wordt begonnen met de bezetting van een hogere schil. Deze elektronen-schilstructuur zien we terug in het Periodiek Systeem der Elementen. Bosonen zijn niet aan dit Principe onderhevig. Dit is bijvoorbeeld zichtbaar in een laserbundel, die uit allemaal fotonen (bosonen!) met nagenoeg dezelfde energie bestaat.

Het Stern-Gerlach Experiment

Het nu volgende stukje tekst beschrijft een experiment dat de al eerder beschreven quantisatie van eigenschappen van deeltjes nog eens mooi illustreert.

De heren Otto Stern en Walter Gerlach stuurden in 1921 een geconcentreerde bundel zilveratomen, afkomstig uit een oven, door een inhomogeen magneetveld (dwz: de grootte van het veld is niet onafhankelijk van de plaats waarop je het veld beschouwd) en lieten het daarna op een scherm vallen.

Deze zilveratomen merken de invloed van het magnetisch veld net zoals een kompasnaald dat doet: ze bezitten een zogenaamd magnetisch moment. Deze naaldjes hebben de neiging zich te ori�nteren naar het magneetveld. Aangezien het magneetveld inhomogeen is, ondervinden beide ‘polen' van de kompasnaald niet een gelijke kracht, en hangt de resulterende kracht op de naald dus af van zijn ori�ntatie ten opzichte van het veld.

Zonder het magneetveld zou er slecht een punt op het scherm te zien zijn, doordat alle atomen simpelweg in een rechte lijn naar het scherm schieten. Wordt het magneetveld echter ingeschakeld, dan ondervindt elk atoom een kracht, afhankelijk van de ori�ntatie van zijn magnetisch moment. Afhankelijk van de grootte van die kracht zal het atoom dus verder van het midden van het scherm terechtkomen.

Klassiek gezien zou men verwachten dat elke willekeurige ori�ntatie van magnetische momenten mogelijk is, en dat er dus een streep op het scherm zichtbaar zou zijn. Volgens de kwantummechanica is het magnetisch moment echter afhankelijk van de spin van zijn elektronen. Zit het zilveratoom in zijn grondtoestand, oftewel de toestand met laagste energie, dan hangt het magnetisch moment slechts af van de spin van ��n enkel elektron. Deze spin kan de waarden 'up' en 'down' hebben, en dus zijn er twee mogelijke waarden voor het magnetisch moment. Hierdoor worden de atomen in twee richtingen afgebogen, en verwacht je op het scherm twee vlekken waar te nemen, op de uitersten van de streep die de klassieke fysica voorspelt. Dit is inderdaad wat Stern en Gerlach waarnamen.

Het Zeemaneffect

Om nog eens terug te komen op de lijnensplitsing die zoals gezegd niet door de theorie van Bohr werd verklaard, en om nogmaals een voorbeeld te geven van de manifestatie van quantisatie, volgt nu een bespreking van het effect dat genoemd is naar de Nederlandse fysicus Pieter Zeeman die het in 1896 voor het eerst waarnam.

Zoals al behandeld in het stukje over het Stern-Gerlach experiment, gedragen atomen in een magneetveld zich als kleine kompasnaaldjes. Deze hebben de neiging zich te ori�nteren in de richting van dat magneetveld, en bezitten dus een magnetisch (dipool)moment. De potenti�le energie van zo'n kompasnaald (beter: magnetische dipool) hangt direct af van dit moment, en daarnaast van de grootte van het magneetveld. Het magnetisch moment van een atoom hangt af van zijn extrinsieke hoekmoment (in de vergelijking met de planeet was dit equivalent aan de omloop rond de ster) en dit hoekmoment is gequantiseerd.

Uiteindelijk verwachten we dus dat de energie van een toestand van een atoom in een magneetveld een beetje afwijkt van het klassieke idee: voor elke waarde van het extrinsieke hoekmomentquantumgetal is de waarde van het magnetisch moment en daarmee de energie verschillend. Dit energieverschil is echter zeer klein in vergelijking met de ruimte tussen verschillende energieniveaus. In plaats van steeds ��n enkele lijn verwachten we dus een groepje dicht bij elkaar liggende lijnen. En dit is dus ook daadwerkelijk wat we zien.

Bronnen

Arthur Beiser, Concepts of Modern Physics, Sixth Edition (McGraw-Hill, 2003)
David J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (Prentice Hall, 1995)